Chat Prasátek

Matematická sekce

<< < 1 2 ... 35 36 > >>

José | org | 12. 4. 2024 21:49:55

Hola hej, hola hou!
Hintíky už k tobě jdou! :D

3. jarní série
Úloha 1. + skrytý text

Prostě to udělej! ;)

Úloha 2. + skrytý text

Párů je 151, což je jen kousek od 150.

Úloha 3. + skrytý text

Áďa to dokáže. + skrytý text

Když uděláš z čísel dost velkou ohrádku, vejdou se všechna i dovnitř.

Úloha 4. + skrytý text

Odhadni, kolik může být duplicit mezi kartami. + skrytý text

Pro konstrukci začni s úplným grafem, symboly nechť jsou hrany. To ale nebude úplně stačit.

Úloha 5. + skrytý text

Uvaž matfyzáka, který tančil s nejvíce matfyzačkami. + skrytý text

A pak matfyzačku, která s ním netančila.

Úloha 6. + skrytý text

Zkus si lidi představit jako vrcholy grafu s hranami dvou barev (jedna barva odpovídá Kecalovu plánu, druhá Kecalčině). Jak tento graf vypadá (resp. jak vypadají jeho souvislé komponenty)?

Úloha 7. + skrytý text

Všimni si, že $\textstyle f$ a $\textstyle g$ musí být bijekce.

Úloha 8. + skrytý text

Co kdyby Klárka nejdříve chtěla získat alespoň tolik pravých rukavic jako levých... + skrytý text

a ve správnou chvíli strategii změnila?

3. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text

Pomocí poměrů spočítej body $\textstyle D$ a $\textstyle E$ . Pak pomocí vzorečků a podobností počítej jednotlivé přímky.

Úloha 2. + skrytý text

Ze seriálu víme, že platí $\textstyle L_b=(a^2:-b^2,c^2)$ , $\textstyle I_b=(a:-b:c)$ . Průsečík přímek pak už dokážeš snadno spočítat.

Úloha 3. + skrytý text

Je-li $\textstyle S$ průsečík $\textstyle CX$ a $\textstyle BY$ , zajistíš rovnoběžnost tak, že $\textstyle P=kS+(1-k)C$ a $\textstyle Q=kS+(1-k)B$ . Zvol si souřadnice bodů $\textstyle P$ , $\textstyle Q$ , $\textstyle X$ , $\textstyle Y$ co nejjednodušeji. + skrytý text

Chordálu získáš jako rozdíl rovnic kružnic. Pro důkaz, že přímky prochází jedním bodem, spočítej determinant.

Denisa Hanušková | org | 6. 3. 2024 08:57:39

Ahoj, nová várka hintů je zde, s nimi hravě dořešíš úlohy 2. jarní série.
Úloha 1.+ skrytý text

23. účastník je kamarád všech, takže i 1. účastníka.

Úloha 2.+ skrytý text

Umísti kamarády k prostřednímu sloupu.

Úloha 3.+ skrytý text

Uvaž největší místnost v libovolných dvou po sobě jdoucích kolech.

Úloha 4.+ skrytý text

Stačí ukázat, že kamarád průsečíku leží na výšce z $\textstyle A$ .

Úloha 5.+ skrytý text

Všichni moji přátelé se přátelí navzájem.

Úloha 6.+ skrytý text

Najdi švrčkův bod

Úloha 7.+ skrytý text

Překlop $\textstyle F$ podle stran.

Úloha 8.+ skrytý text

Ukaž, že $O$ a $H$ jsou kamarádi v čtyřúhelníku $BCFE$ , tudíž $\textstyle O$ leží na ose $\textstyle EF$ .

José | org | 7. 2. 2024 15:21:21

Za týden je svátek zamilovaných. A kdo by nemiloval hinty 1j a 2s série ;).

1. jarní série
Úloha 1. + skrytý text

Zkus napsat spoustu trojiček se součtem 6.

Úloha 2. + skrytý text

Všimni si, že nsn si od každého prvočísla vybere tu největší vyskytující se mocninu.

Úloha 3. + skrytý text

Znaménko rozdílu se může změnit nanejvýš jednou.

Úloha 4. + skrytý text

Najdi prosté zobrazení z počtu způsobů pro n do počtu způsobů pro n+1.

Úloha 5. + skrytý text

Dívej se na racionální čísla modulo 5.

Úloha 6. + skrytý text

Posviť si na posloupnost bn = √(an+1 + an).

Úloha 7. + skrytý text

Fn je Fibonacciho číslo, Gn je od jistého okamžiku rozdíl dvou Fibonacciho posloupností.

Úloha 8. + skrytý text

Celočíselné body na hyperbole x^2 - 2cxy + y^2 + c^2 - 1 = 0.

2. seriálová série
Úloha 1. + skrytý text

Použij vzorce pro otáčení (vrcholy čtverců nad stranami) a pro rovnoběžník.

Úloha 2. + skrytý text

Vzorec ortocentra trojúhelníka na jednotkové kružnici máš, |a-b| = √((a-b)(a-b)). + skrytý text

Pak si jen vzpomeň na vzorce:
.ζk = ζ7-k,
ζ7+k = ζk.

Pozn. (a-b) zde značí číslo komplexně sdružené.

Úloha 3. + skrytý text

Vepsaná kružnice je jednotková, vzorec na průsečík tečny s tětivou máš. To nejhorší se pokrátí.

José | org | 13. 1. 2024 07:17:51

Due to technical difficulties, we are currently unable to post mathematical text in this chat, forcing us to post this next series of hints as plain text. We hope to get the issue resolved soon, so that we can post a more readable version in the near future. We apologize for the inconvenience.

Problem 1. + skrytý text

Pigs eat more food than chickens.

Problem 2. + skrytý text

Square it, then arrange it into a square.

Problem 3. + skrytý text

Show that any triangle placed completely inside a unit square has an area of at most 1/2.

Problem 4. + skrytý text

Divide out what you can, you will be left with a product of |m-n|/2 bigger numbers vs a product of |m-n|/2 smaller numbers.

Problem 5. + skrytý text

Use the AM-GM inequality.

Problem 6. + skrytý text

For each divisor d, calculate how many times it will be counted in the sum. + skrytý text

Get a bound on the sum using floor(n/d) - floor(n/(d+1)) >= 0.

Problem 7. + skrytý text

Square the given recurrence relations. + skrytý text

You only need to show (x_n)^2 + (y_n)^2 + (z_n)^2 > 6n+39.

Problem 8. + skrytý text

Use the sum formula. + skrytý text

And apply Cauchy–Schwarz.

Denisa Hanušková | org | 6. 12. 2023 21:47:20

Netrpělivě očekáváš hinty z 3. podzimní série a 1. seriálové série? Zde jsou:
Úloha 1. + skrytý text

Pythagorův trojúhelník.

Úloha 2. + skrytý text

Lze to. + skrytý text

Minimální počet kružnic je 6. + skrytý text

Existuje konfigurace se dvěma různými poloměry kružnic.

Úloha 3. + skrytý text

Ukažte, že poloměry kružnic tvoří geometrickou posloupnost.

Úloha 4. + skrytý text

Dokaž, že A, B, S, T a střed $\textstyle \Omega$ leží na jedné kružnici.

Úloha 5. + skrytý text

Překlop podle $\textstyle AB$ . Srovnej velikosti kružnic.

Úloha 6. + skrytý text

Dokaž, že součet úhlů $\textstyle AXB$ , $\textstyle AYB$ a $\textstyle XBY$ je 180 stupňů.

Úloha 7. + skrytý text

Nejdřív vyúhli kolmost stran+ skrytý text

vzdálenost protějších přímek spočti dokreslením tětiv $\textstyle P_1Q_1$ , $\textstyle HE$ , $\textstyle FG$ a společné tečny $\textstyle \Omega$ , $\textstyle \omega_1$ v bodě $\textstyle T_1$ .

Úloha 8. + skrytý text

Střed strany $\textstyle BC$ leží na pevné kružnici, stejnolehli ho na těžiště a Feuerbašiště.+ skrytý text

Podruhé stejnolehli pevnou kružnici z opsiště, je pevné. Poloměr Feuerbachovy kružnice taky znáš.

Úloha 1.+ skrytý text

Obsah trojúhelníka a sinová věta.

Úloha 2.+ skrytý text

Hýbej bodem $\textstyle B$ . Když $\textstyle t_b$ značí délku tečny z $\textstyle B$ k $\textstyle \omega_2$ , je $\textstyle \frac{|BA|}{|BA|+t_b}$ konstanta.

Úloha 3.+ skrytý text

Najdi tu kružnici a prostě to spočítej. Co by se mohlo pokazit?

José | org | 17. 11. 2023 17:53:23

Stále bádáš nad nějakou úlohou z 2. podzimní série? Další hinty už ti spěchají na pomoc!
Úloha 1. + skrytý text

Smaž čtvereček na levé hraně.

Úloha 2. + skrytý text

Jsou-li $\textstyle a, b$ nesoudělná, co musí platit aby $\textstyle 110$ dělilo $\textstyle 10a + 11b$ ?

Úloha 3. + skrytý text

Rozmysli si, jak se ciferné součty mění při přechodu přes desítky a že aspoň 20 po sobě jdoucích čísel nepřejde přes stovky.

Úloha 4. + skrytý text

Ukaž, že je to součet lichých čísel menších než 2n.

Úloha 5. + skrytý text

Najít množinu 2n-1 obdélníků je snadné, zkus potom nějaký přidat. + skrytý text

Setřiď velikosti stran $a_1 \le \dots \le a_n, b_1 \le \dots \le b_n$ . BÚNO $b_1 \le a_1$ , najdi $b_i \le a_i \le a_{i+1} \le b_{i+1}$ .

Úloha 6. + skrytý text

Musí mít všechny stejný zbytek po dělení p. Počítejte s polynomy těch čísel a jejich kořeny modulo p.

Úloha 7. + skrytý text

Stačí čtyři díly. Čtverec 5x5 vyřízne v celku. + skrytý text

Schodiště je výhodný řez, díly se dají posunout o jeden schod a zase spojit.

Úloha 8. + skrytý text

Indukuj podle k. + skrytý text

Dokazuj kombinatoricky: kolika způsoby lze $\textstyle n^{k}$ lidí rozdělit do $\textstyle n$ -tic?

Denisa Hanušková | org | 8. 10. 2023 22:15:55

Ahoj, trápíš se stále s nějakou úlohou z 1. podzimní série? Hinty Ti pomohou vydat se správným směrem.
Úloha 1. + skrytý text

Trojúhelníky AEB a ACB mají společnou výšku.

Úloha 2.+ skrytý text

Cesta se nemá kde zacyklit.+ skrytý text

Začneme v $\textstyle 1$ , kde je vůbec možné skončit?

Úloha 3. + skrytý text

Může. Jaké znáš Pythagorejské trojice?

Úloha 4. + skrytý text

Vietovy vztahy

Úloha 5. + skrytý text

Nakreslete si graf množství vody v dromedárově hrbu v závislosti na čase. Předpokládejte, že voda nedojde.

Úloha 6. + skrytý text

Zakresli si mrakodrapy do grafu, kde hrana bude mezi mrakodrapy, pokud je rozdíl jejich výšek mocnina dvou.
+ skrytý text

Když v grafu necháme každou mocninu dvou pouze jednou, musí být acyklický.

Úloha 7. + skrytý text

Nakreslete si do n-úhelníka obdélníky tvaru (délka strany) x $\frac{S}{o}$ .

Úloha 8. + skrytý text

Odpověď je 2. Podívej se na stát s nejmenším počtem základen. + skrytý text

Pro základnu patřící jinému státu vezmi nejkratší část pobřeží, který dostáváš ze zadání.

Áďa | org | 24. 5. 2023 16:41:55

Vrtá Ti stále hlavou nějaká úložka z finálního myšmaše? Pak zde jsou hinty právě pro Tebe!

Úloha 1.
a) + skrytý text

Zkus přepnout jednu žárovku na obvodu, aniž bys změnil stav jiných.

b) + skrytý text

Dokresli průsečíky výšek trojúhelníků $\textstyle ABE$ a $\textstyle CDE$ .

Úloha 2.
a) + skrytý text

Rozmysli si, který bod musí být růžový, aby v dalším kroku byl obarvený střed. Pak ukaž, že tak daleko růžový bod nikdy nebude.

b) + skrytý text

Najdi potenční střed $\textstyle \omega_1$ , $\textstyle \omega_2$ a $\textstyle \Gamma$ .

Úloha 3.
a)+ skrytý text

Rozlož rozdíl čtverců.+ skrytý text

modulo 4

b)+ skrytý text

Posloupnost nemůže růst velkými skoky.+ skrytý text

Najdi dost dlouhý úsek složených čísel.

Úloha 4.
a)+ skrytý text

Rozeber součty 3, 4, 5, 6 a 12, 13, 14, 15.

b)+ skrytý text

Osoba s největším počtem známostí v rámci jedné skupiny.

Úloha 5.
a)+ skrytý text

Podmínky s celočíselnými průměry vyřeší množina plná násobků $\textstyle n!$ .+ skrytý text

Nesoudělnosti docílíš posunutím.

b)+ skrytý text

$\textstyle n-2$ zakroužkovaných lze docílit -- najdi konstrukci.+ skrytý text

K důkazu, že $\textstyle n-1$ dosáhnout nelze, uvažuj vrchol s nejmenším stupněm a potom ten s druhým nejmenším.

Úloha 6.
a)+ skrytý text

Omez shora hodnotu tohoto zlomku. Tato hodnota musí dělit číslo tvaru $\textstyle 100\dots001$ , které má o cifru víc než $\textstyle a$ .

b)+ skrytý text

Dokresli rovnoběžku k $\textstyle EF$ skrz $\textstyle B$ .

Úloha 7.
a)+ skrytý text

Podívej se na hodnoty $\textstyle f+g$ .

b)+ skrytý text

Uvaž $\textstyle x=y$ a $\textstyle x=\frac{1-x}{1+x}$ .

Denisa Hanušková | org | 6. 4. 2023 21:24:19

Ahoj! Skončili nám další série a hinty se hlásí o slovo.

Úloha 1. + skrytý text

Dej všem funkcím $\{ 1, 2, 3, 4\}$ a cyklicky je vůči sobě posuň.

Úloha 2. + skrytý text

Uspořádej kořeny do dvojic, které jsou osově souměrné podle $\textstyle 2023$ .

Úloha 3. + skrytý text

Použij dolní celou část. Jak se chová na záporných číslech?

Úloha 4. + skrytý text

Použij Vietovy vztahy pro zadané kvadratické trojčleny.

Úloha 5. + skrytý text

Získej nějaké $\textstyle c$ splňující $\textstyle f(c)=0$ a dosaď ho za $\textstyle y$ .

Úloha 6. + skrytý text

Dosazením $\textstyle x=0$ uvidíš, co se děje na nezáporných číslech.

Úloha 7. + skrytý text

$\textstyle f$ je prostá a $\textstyle f(x)>x$ .+ skrytý text

Prohoď $\textstyle a$ a $\textstyle b$ .

Úloha 8. + skrytý text

Označme $P(x) = x^2 - x - 2023$ , jaké jsou hodnoty $P(\sqrt{2023})$ a $\textstyle P(-\sqrt{2023})$ ?+ skrytý text

Uvaž pevné body $\textstyle P(P(x))$ .+ skrytý text

$P(P(x)) - x$ je polynom čtvrtého stupně, nemůže tedy mít více než 4 kořeny. Má $P(x)$ nějaké pevné body?

Úloha 1.+ skrytý text

Existuje třeba pro $k = 3$ .
+ skrytý text

Skoro cokoli jiného než pravidelný šestiúhelník bude fungovat.

Úloha 2.+ skrytý text

Rozmysli si, proč to platí pro rovinné nakreslení.+ skrytý text

Zkus odebrat nějakou hranu tak, aby se levá strana nerovnosti zvětšila.+ skrytý text

Odeber hranu e, pro kterou je cr(e) největší.

Úloha 3.+ skrytý text

Postupuj podobně jako v posledních příkladech v seriálu.+ skrytý text

Když zafixuješ dva vrcholy trojúhelníku, množina bodů v rovině, kde by mohl být ten třetí, je elipsa.

Áďa | org | 10. 3. 2023 00:17:12

Ahoj, ahoj! Stále si lámeš hlavu nad některou z úložek 2. jarní série? Pak je tu další várka hintů právě pro Tebe!

Úloha 1. + skrytý text

Podívej se na $\textstyle N$ modulo $\textstyle 9$ a $\textstyle 3$ .

Úloha 2. + skrytý text

$\textstyle (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$

Úloha 3. + skrytý text

Pro horní odhad posčítej všechny obvody dohromady a zjisti, co dostaneš v obrázku. + skrytý text

Pro dolní odhad se podívej na čtyřúhelníček v rohu ohrádky.

Úloha 4.+ skrytý text

Roznásob a substituuj $\textstyle x=da$ , $\textstyle y=db$ , kde $\textstyle d=\NSD(x,y)$ .

Úloha 5. + skrytý text

Nakresli si z PraSátka přímky rovnoběžné s diagonálami čtverce.

Úloha 6. + skrytý text

Protni přímky $\textstyle KL$ a $\textstyle BC$ a hledej rovnoramenné trojúhelníky.

Úloha 7. + skrytý text

Uvaž funkci $\textstyle g: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ takovou, že $\textstyle g(n)^2 = f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$ , a zkus na ni získat nějaké odhady. + skrytý text

Rozeber hodnoty $\textstyle g$ v prvočíslech.+ skrytý text

Domysli, že to už vynucuje všechny hodnoty.

Úloha 8. + skrytý text

Vyjde to $\textstyle 2n-2$ . Zobecni konstrukci pro $\textstyle n=3$ . Zafixuj počet svislých a vodorovných segmentů.

Denisa Hanušková | org | 8. 2. 2023 17:39:30

Ahoj, s koncem serií se k Vám blíží další hinty. Zde jsou:

Úloha 1.+ skrytý text

Dívej se na rozdíly sousedních průměrů.

Úloha 2.+ skrytý text

Popáruj dělitele $d$ s $\frac nd$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Zprůměruj první a třetí nejvyšší a redukuj postupně dolů. Pro číslo 1000 opakuj postup z obou stran.

Úloha 4.+ skrytý text

Popáruj podmnožiny, které obsahují svůj aritmetický průměr s těmi, který jej neobsahují.

Úloha 5.+ skrytý text

Rozděl čísla na sudá a lichá.

Úloha 6.+ skrytý text

Spočítej $a_1-a_3$

Úloha 7.+ skrytý text

Rozmysli si, že $m$ se nezvětšuje.

Úloha 8.+ skrytý text

Více, než $k^2$ jich být nemůže, takže každá trojice, která může být pěkná, musí.+ skrytý text

Uspořádej si reálná čísla podle velikosti. Podívej se na vzdálenosti $a_k$ a $a_{k+1}$ . Jak pak musí vypadat ostatní mezery?

Úloha 1. + skrytý text

Fíla skutečně mohl takovou množinu najít.+ skrytý text

Zkus nějakou množinu bez okraje.

Úloha 2. + skrytý text

Postupně přidávej body z konvexního obalu, když to je potřeba, tak dva najednou.+ skrytý text

Přidávej body tak, aby poslední dvě písmena napsaného textu byla stejná.

Úloha 3. + skrytý text

Uvaž libovolný bod na povrchu mnohostěnu a zobraz mnohostěn ve stejnolehlosti se středem v tomto bodě a koeficientem 3/4.+ skrytý text

Použij nekonečnou Hellyho větu.+ skrytý text

Libovolné 4 obrazy se protínají v těžišti příslušného čtyřstěnu.

Áďa | org | 10. 1. 2023 11:17:38

Ahojky, už určitě netrpělivě očekáváš hintíky 4. podzimní série. Mám pro Tebe dobrou zprávu! Už nemusíš čekat déle!

Úloha 1. + skrytý text

Jaké dvojice můžou vzniknout při prvním rozdělení? A při druhém?

Úloha 2. + skrytý text

Čtvrté číslo zvol co nejvyšší.

Úloha 3. + skrytý text

Za jak dlouho alespoň někdo ví vše?

Úloha 4. + skrytý text

Jak musí vypadat graf, kde je mezi dvěma týmy hrana, právě když spolu hrály v některém z prvních dvou dnů?

Úloha 5. + skrytý text

Ukaž, že pokud je $\textstyle M$ město, do kterého doletí nejvíc letadel, a $\textstyle A$ , $\textstyle B$ nějaká jiná města, ze kterých letí letadla do $\textstyle M$ , pak úhel $\textstyle \sphericalangle AMB$ musí být vyšší než $\textstyle 60^\circ$ .

Úloha 6. + skrytý text

Smaž právě jednu šipku mezi každými dvěma týmy. + skrytý text

Rozděl si to na dvojice, kde pokaždé vyhrál jiný tým, a na ty zbylé.

Úloha 7. + skrytý text

Využij faktu, že počet přijatých GIFů je stejný jako počet odeslaných, k dokázání $\textstyle 7|n(n-1)$ . Najdi konstrukci pro vyhovující $\textstyle n$

Úloha 8. + skrytý text

Indukcí. Rozděl si maximální kliky podle toho, jak vznikly z menšího grafu.

Zdeněk Pezlar | org | 29. 12. 2022 19:27:13

Ahoj,

chceš trochu potrénovat před blížícím se krajským kolem Matematické olympiády A? Potom je tu právě pro tebe TRiKSko -- tréninková online soutěž semináře iKS. Bližší informace najdeš na https://iksko.org/triks/current.php.

Denisa Hanušková | org | 6. 12. 2022 20:37:09

Ahoj, stále se trápíš nad některou z úloh? Pak Tě jistě potěší pozdní dárek od Mikuláše, který Ti u nás v podobě hintů zanechal.
Úloha 1. + skrytý text

Vypiš si, jaká prvočísla spolu mohou sousedit.

Úloha 2. + skrytý text

Zvol za $p$ postupně $3, 5, 7.$

Úloha 3. + skrytý text

Pokrať 19, rozlož na součin.

Úloha 4. + skrytý text

Podívej se na paritu.

Úloha 5. + skrytý text

V posloupnosti $p_n$ se od nějaké chvíle bude opakovat $2,2,3,2,2,3,2,2,3,\dots$

Úloha 6. + skrytý text

Označ si ony čtverce $a^2$ a $b^2$ ,pak odečti a faktorizuj.

+ skrytý text

Odhadni $a+b<2p$

Úloha 7. + skrytý text

Faktorizuj $n^6-1=(n-1)(n+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)$

+ skrytý text

Vyjádři $p=nk+1$ , dosaď a rozeber případy podle toho, kterou závorku $p$ dělí.

Úloha 8. + skrytý text

Přepiš na součin kombinačních čísel.

+ skrytý text

Přidej k součinům $p$ , abys dostal kombinační čísla s $p.$

Úloha 1.+ skrytý text

Nemusí.

+ skrytý text

Protipříklad je i na čtyřech vrcholech.

Úloha 2. + skrytý text

Extremální princip.

+ skrytý text

Dívej se na úhly.

Úloha 3. + skrytý text

Udělej strom na triangulaci.

+ skrytý text

Hledej vrchol, co je "uprostřed".

Zdeněk Pezlar | org | 22. 11. 2022 13:06:52

Ahoj!
Již tradiční internetová soutěž Mathrace (http://brkos.math.muni.cz/mathrace/)
proběhne už za týden v úterý 30.11.! Soutěž je určena pro nejvýše čtyřčlenné týmy středoškoláků, pro nadšence mimo střední školu je tu kategorie Underground. Soutěž organizují studenti Přf MUNI.
Čím se liší Mathrace od jiných matematických soutěží? Na řešení úloh jsou povolené libovolné zdroje - kalkulačky, Geogebra, WolframAlpha, programování - můžete si proto být jistí, že i s pomocí těchto nástrojů budete muset nad úlohami přemýšlet.
Soutěž probíhá online, nemusíte se svým týmem sejít na jednom místě. Týmy ale musí pocházet z jedné školy.
Tak na co čekáš, registruj se na Mathrace!

Áďa | org | 15. 11. 2022 12:46:01

Ahoj! Druhá podzimní série je za námi. Pokud si s nějakým příkladem marně lámeš hlavu, níže si můžeš prohlédnout hinty, které Ti pomůžou vydat se správným směrem.

Úloha 1.+ skrytý text

Popáruj si vzdálenosti, aby se sečetly na 9

Úloha 2.+ skrytý text

Dokresli čtverec, jehož úhlopříčka je $\textstyle BK$ .

Úloha 3.+ skrytý text

Parita (sudost/lichost)

Úloha 4.+ skrytý text

Ukaž, že chatrč může být kdekoli mezi 1011. a 1012. hruškou.

Úloha 5.+ skrytý text

Dokresli si průsečíky úhlopříček zadaných obdélníků. Pomocí nich dokaž, že $\textstyle BG$ je rovnoběžná s $\textstyle FC$ .

Úloha 6.+ skrytý text

Buďte $\textstyle X$ , $\textstyle Y$ středy $\textstyle AC$ , $\textstyle BE$ ; potom ukaž, že $\textstyle XOYD$ je rovnoběžník.

Úloha 7.+ skrytý text

Dokažte tětivovost $\textstyle ABCM$ a $\textstyle AO_1NO_2M$

Úloha 8.+ skrytý text

$\textstyle |X_AA_0| = |X_AA_1|$ + skrytý text

Chordála Feuerbachovy kružnice a kružnice opsané

Michal Janík | 19. 7. 2022 22:29:35

Řešení 15:
+ skrytý text

$n^n-m^n$ můžeme zapsat jako $(n-m)\left(n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\right)$ . Teď dokážeme, že tyto dvě závorky jsou nesoudělné. Skutečně $n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1}\equiv n\cdot n^{n-1}=n^n\bmod{(n-m)}$ . Proto $\gcd(n-m,n^{n-1}+n^{n-2}m+\cdots+nm^{n-2}+m^{n-1})=\gcd(n-m,n^n)$ (Eukleidův algoritmus). Pokud by ale nějaké prvočíslo dělilo jak $n-m$ , tak $n^n$ , pak by dělilo i $n$ a $m$ , což je spor s jejich nesoudělností. Tudíž jsou závorky vskutku nesoudělné. Jelikož jejich součin je čtverec, i obě závorky jsou čtverce, tedy skutečně je $n-m$ čtverec.

Zadání 16:
V rovině leží několik přímek tak, že každá přímka protíná přesně $n$ jiných přímek. V závislosti na $n$ určete, kolik přímek může v rovině ležet.

Erik Ježek | 27. 5. 2022 20:04:00

Řešení 14:
+ skrytý text

Když za $b$ budeme dosazovat čísla od 0 do $p-1$ , tak dostaneme $p$ různých zbytků modulo $p$ , protože: Pro spor předpokládejme, že existují různá celá čísla $-1 < x,y < p$ , taková že $xq$ a $yq$ dávají stejný zbytek, pak ale musí platit, že $p$ dělí $q(x-y)$ a z toho že $p$ a $q$ jsou různá prvočísla, tak $p$ dělí $x - y$ , to ale už znamená $x = y$ , což je spor. Zbývá ukázat, že každý z těchto zbytků je menší než $(p-1)(q-1)$ , nebo je prvním větším číslem než tento součin, které dává stejný zbytek modulo $p$ jako $bq$ (proto je v následující nerovnosti na levé straně $-p$ ), pak bude jistě stačit zvolit $a$ nezáporně pro každé $k$ . Podmínku stačí ověřit pro nejvyšší $b$ , tedy pro $b = p - 1$ , pak chceme dokázat: $(p-1)q - p < (p-1)(q-1)$ , což ale triviálně platí a tím jsme hotovi

Zadání 15:
Mějme přirozená čísla $n, m, x$ , taková že splňují $n^n - m^n = x^2$ a čísla $n, m$ jsou nesoudělná. Dokažte že $n - m$ je druhou mocninou přirozeného čísla

Patrik Štencel | 22. 5. 2022 23:33:25

Řešení 13:
+ skrytý text

Rozdělme si políčka na rohová, okrajová(nepatří do nich rohová) a vnitřní. Rohová mají pouze 2 sousedy, takže nemůže být obarvené. Okrajové má 3 sousedy, takže všichni 3 musí být obarveni. Tabulka je konečná, takže se dostaneme k rohovému políčku, které nemůže být obarvené a tedy ani okrajové nemůže být. Nyní se podívejme na vnitřní políčka. Představme si, že tvoří nějaký mnohoúhelník, kde jeho úhly jsou násobky 90°. Představme si, že nějaký vnitřní úhel má 90°. To by znamenalo, že nějaké políčko má kolem sebe 2 čtverečky. To odporuje zadání, takže jeho jediné vnitřní úhly jsou 180°, 270°,360°(uvnitř). Pokud bychom šli po jeho vnějším obvodu(nepočítáme vnitřní záhyby), mohli bychom sečíst úhly na které narazíme. Pokud bychom brali ty úhly, které nejsou přímé a náš mnohoúhelník by měl n vrcholů, získali bychom tento součet jako n270°. Součet úhlů v mnohoúhelníku je (n-2)180°. Tedy náš útvar nemůže být mnohoúhelník, ale zároveň jediný útvar, který by to mohl být je mnohoúhelník. To je spor a tedy nejde to. (Alternativní metoda by spočívala, že půjdeme po obvodu a vždy budeme zabočovat o 90° na jednu stranu a na druhé straně se bude rozkládat náš obarvený mnohoúhelník. Nyní bychom potřebovali obalit náš mnohoúhelník tím, že uzavřeme jeho obvod. Problém by nastal v tom, že u každého takového uzavření by obarvená část nebyla uvnitř uzavřené části, ale venku(táhla by se do nekonečna/krajů(obojí nejde)).)

Zadání 14:
Mějme dvě prvočísla $p,q$ . Dokažme, že pro každé $k>(p-1)(q-1)$ lze $k$ zapsat jako $k=ap+bq$ pro nezáporná celá čísla $a,b$ .

Erik Ježek | 22. 5. 2022 20:24:20

Řešení 12:
+ skrytý text

Stačí zvolit $a = n^2$ , $b = n-1$ , pak rovnost jistě bude platit a jmenovatel zlomku bude vždy vyšší než 0 (z přirozenosti $n$ ).

Zadání 13:
Uvažme tabulku s $n$ řádky a $m$ sloupci. Lze tuto tabulku obarvit, tak aby každé obarvené políčko (existuje aspoň jedno) sousedilo s aspoň 3 jinými obarvenými políčky? (Políčko sousedí s jiným políčkem, pokud mají společnou stranu)

<< < 1 2 ... 35 36 > >>

Kontakt

email	info (zavináč) prase.cz
pošta	Matematický korespondenční seminář KAM MFF UK Malostranské náměstí 25 118 00 Praha 1

Organizátoři

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení propagace a mediální komunikace MFF UK.

Partneři

Realizace projektu byla podpořena Ministerstvem školství, mládeže a tělovýchovy

Matematický korespondenční seminář

Kalendář

Z naší fotogalerie

Kontakt

Organizátoři

Partneři