Jméno:

b i u AA AA \TeX link skrytý text
Anti-spamová kontrola: Kolik je jedna a čtyři? (slovy)
Matematická sekcerss-icon
<< < 1 2 ... 31 32 > >>
madam Verča | org | 9. 1. 2018 23:48:42
Ahoj ahoj,
Už i poslední podzimní série má své hinty!

Úloha 1.+ skrytý text
Co lze odebrat, lze taky přidat.

Úloha 2.+ skrytý text
Uvažujte zbytky po dělení třemi.

Úloha 3.+ skrytý text
Jak se dá \textstyle 462 zapsat jako součet dvou svých dělitelů?

Úloha 4.+ skrytý text
Využijte kritérium pro dělitelnost jedenácti.

Úloha 5.+ skrytý text
Zkoumejte paritu.

Úloha 6.+ skrytý text
Jen jedna z množin může mít víc než jeden prvek.+ skrytý text
Uvažujme kterýkoli prvek, který nepatří do oné jednoprvkové množiny. Co lze říct o menších číslech?

Úloha 7.+ skrytý text
\textstyle n musí být prvočíslo a pak pracujte modulo \textstyle n-1.

Úloha 8.+ skrytý text
Nejprve si ke každému políčku přiřaďte unikátní prvočíslo. Pomocí nich si zajistěte druhou podmínku, bez ohledu na první. Nyní zvolte dostatečně velké prvočíslo P, nesoudělné se všemi prozatím napsanými čísly a vynásobte každé políčko takovým koeficientem, aby součet v každém dominu byl P.
madam Verča | org | 8. 11. 2017 20:52:17
Ahoj ahoj!
tady je další várka hintů, tentokrát k 2. podzimní sérii ;)
Úloha 1.+ skrytý text
Když jsou vedle osmičky čtyřky, nemusí být ta osmička číslice nějakého dvouciferného čísla? Jaká čísla to mohou být?

Úloha 2.+ skrytý text
Jak se dají získat malé součty?

Úloha 3.+ skrytý text
Kolik existuje uspořádaných čtveřic čísel z množiny \textstyle \{0, 1, 2,\dots, 9\} takových, že jejich součet je dělitelný třemi?

Úloha 4.+ skrytý text
Kolika způsoby lze umístit \textstyle 8 věží na jednu barvu, aby se neohrožovaly?+ skrytý text
Na šachovnici \textstyle 8 \times 8 by šlo \textstyle 8 věží umístit \textstyle 2\cdot (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)^2 způsoby (tak, aby v každém rozmístění byly pouze na jedné barvě).

Úloha 5.+ skrytý text
Zkus si označit \textstyle n počet druháků a \textstyle k počet bodů, které získal každý z nich. Potom lze zadání přepsat do rovnice (napovím, že celkem bylo rozdáno \textstyle  \frac {(n+2)(n+1)}2 bodů), ze které vyplyne, že počet druháků musí být dělitelem \textstyle 14 .

Úloha 6.+ skrytý text
Kolikrát se započítá jeden konkrétní prvek množiny \textstyle \{1, 2, \dots, 2017\} do hledaného součtu?+ skrytý text
Když umístíme jeden prvek do průniku \textstyle A\cap B, máme přesně čtyři možnosti, kam dát libovolný další prvek: do \textstyle A\cap B, \textstyle A\setminus B, \textstyle B\setminus A, nebo do \textstyle \{1, 2, \dots, 2017\}\setminus (A\cup B).

Úloha 7.+ skrytý text
Součin faktoriálů stupňů vrcholů.

Úloha 8.+ skrytý text
Kolika způsoby můžete obarvit náhrdelník o \textstyle n kamíncích \textstyle 2017 barvami tak, aby se při žádném netriviálním pootočení nepřenesl na stejně vypadající?
madam Verča | org | 29. 10. 2017 22:45:16
Ahoj!
Nepodařilo se ti vyřešit nějakou úlohu z 1. podzimní série a nemůžeš se dočkat vzorových řešení ? Pak tady máš pár hintů a můžeš se o to znovu pokusit mimo soutěž :)
Úloha 1.+ skrytý text
Zeptej se postupně na 16 trojic krabiček a zbylou dvojici vyřeš samostatně. + skrytý text
Zbylou dvojici krabiček dosaď po jedné do známé trojice.

Úloha 2.+ skrytý text
Vepiš stůl do čtverce, a ten čtverec rozděl na malé čtverce o velikosti plácačky. + skrytý text
Použij Dirichletův princip.

Úloha 3.+ skrytý text
Kdyby ciferný součet šestkrát za sebou vzrostl o jedna, musí jednou být dělitelný 7. + skrytý text
Kromě případů, kdy se přechází přes desítku, se nemůže ciferný součet změnit jinak než zvětšit o jedna.

Úloha 4.+ skrytý text
481=13\cdot 37 + skrytý text
Použij Dirichletův princip.

Úloha 5.+ skrytý text
V důkazu potřebujeme využít dvě věci: + skrytý text
Najít dvojici po sobě jdoucích ptakopysků, mezi kterými je největší mezera.
+ skrytý text
Orientovat si kružnici.

Úloha 6.+ skrytý text
Pro lichá n: rozmístěte 2x2 čtverce tak aby jste právě n políček buď nezahrnuli do žádného čtverce nebo zahrnuli do dvou čtverců. + skrytý text
Tato políčka budou na diagonále.

Úloha 7.+ skrytý text
Řešte indukcí. + skrytý text
Najděte řešení, kde každý další prvek bude roven součinu předchozích - někdy zmenšený o jedna, někdy zvětšený o jedna.

Úloha 8.+ skrytý text
Dokreslete si kružnice opsané ABD a CBD. Ukažte, že EA a EC se jich dotýkají. + skrytý text
Označte X a Y průsečíky těchto kružnic s l.
Miroslav Olšák | org | 30. 9. 2017 21:13:39
Ahoj, první díl seriálu "Do nekonečna a ještě dál" se dočkal video verze. Nechť se líbí :-)
https://www.youtube.com/playlist?list=PL2m0Oz...
Snad se někdy dostanu i na zbytek...
Jakub Krásenský | org | 1. 7. 2017 21:08:33
Ahoj!
Byli jste napjatí, o čem bude v příštím ročníku seriál? Teď vám to řekneme, abyste se mohli začít těšit (nebo psychicky připravovat):

V letošním seriálu vás provedeme velmi zajímavou oblastí matematiky: teorií grup. Jedná se o rozsáhlou teorii s rozmanitými důsledky v mnoha odvětvích; v seriálu se budeme zabývat jejími základními aspekty a podíváme se na některá hezká využití. Abstraktní přístup, který je dnes běžný, pochází až z devatenáctého století a umožňuje nám popisovat základní vlastnosti mnoha pravidelných objektů naráz. Vybudovaná teorie má přitom navzdory své obecné formulaci mnoho pěkných, hravých a velmi konkrétních důsledků například v kombinatorice nebo teorii čísel, a umožňuje nám tak lépe pochopit, jak spolu různé oblasti matematiky souvisí.
David Hruška | org | 20. 5. 2017 02:11:08
Ahoj Michale, jednak je něco v seriálu (http://mks.mff.cuni.cz/commentary/C/serie2s/u...), pak třeba na http://www.talnet.cz/documents/18/17100201-b6... a pak třeba náhodná úloha, co mě napadá: Máš tětivový čtyřúhelník a spojíš středy protějších oblouků (tedy nějaké body Š_a a Š_c). Dokaž, že tyto dvě spojnice jsou na sebe kolmé.
Marián Poppr | org | 17. 5. 2017 20:34:43
Ahoj,
již i letošní závěrečná série má své hinty:


Úloha 1a)+ skrytý text
Má tabulka sloupec s různými čísly? A když ne, tak skus přeuspořádat nějaké tři sloupce.

Úloha 1b)+ skrytý text
Nepodaří.
+ skrytý text
Vezmi si tabulku vyplněnou jen \frac{2017\times2018}{2}-1 jedničkami a zbytek nulami. Jakých součtů mohou nabývat řádky a sloupce a jak by mohly nasčítat \frac{2017\times2018}{2}-1?


Úloha 2a)+ skrytý text
Vyhovují jen 1 a 2.

Úloha 2b)+ skrytý text
Očísluj orgy 1 až 2n, pak počet úloh, pro které hlasovalo všech prvních x orgů (kde x<k) je {2k-x \choose k}\cdot\frac{1}{k+1}, což musím být celé číslo.
+ skrytý text
Zbytek dořeš Krummerovou větou.

Úloha 3a)+ skrytý text
Rozděl cifry a dvě skupiny a zkoumej rozdíl jejich součtů.

Úloha 3b)+ skrytý text
2 dny stačí.
+ skrytý text
Podle požadavků ptakopysků vytvoř cykly (p1,p2 až pk) a první den prohoď dvojice ptakopysků tak, aby ti cyklus rozpadl na dvojcykly.
+ skrytý text
pi prohoď s pk-i+1.

Úloha 4a)+ skrytý text
Sporem. Pak v 0 nabývá fce minima, z toho ukaž, že záporná čísla nabývají minima též. Srovnej s kladnými a ukaž sporem vhodným dosazením.

Úloha 4b)+ skrytý text
Existuje.
+ skrytý text
Vyřeš zvlášť pro {+-1,+-1/2} a zbylé body vyřeší "ořezaný kosočtverec".


Úloha 5a)+ skrytý text
Nejde.
+ skrytý text
Jaké budou nsd počtů kamenů v hromádkách po prvním kroku?

Úloha 5b)+ skrytý text
Přímky se musí protnout ve středu čtverce.
+ skrytý text
Kdyby ne, otoč podle středu každou přímku a spočítej obsahy úseků rozdělených těmito 4 přímkami.

Úloha 6a)+ skrytý text
Vměstnej do čtyřstěnu následující útvary 4 malé čtyřstěny a 4 trojúhelníky ze středních příček.

Úloha 6b)+ skrytý text
Zobraz například A podle středu N jako T a ukaž, že TEB leží na přímce.
+ skrytý text
Trojúhelníky TSE a CBE jsou shodné.
+ skrytý text
K tomu se hodí vědět jak daleko od roviny AMN leží body D,C,S.


Úloha 7a)+ skrytý text
Neexistuje
+ skrytý text
Jaké zbytky po dělení 4 může dávat hledaný součet?

Úloha 7b)+ skrytý text
n=9999
+ skrytý text
S(9999m)=36 pro m<10000

+ skrytý text
Jak k tomu dojít? Nejprve si všimni, že jde o nejmenší n, které splňuje S(n)=S(n1001).
+ skrytý text
Zkoumej zbytky po dělení 9.
+ skrytý text
Dále všimni si, že ciferný součet n s první jeho cifrou je roven první cifře.

Michal Töpfer | org | 8. 5. 2017 12:07:16
Ahoj,
chtěl bych se zeptat, jestli někdo nemáte tipy na nějaké lehké úlohy na Švrčkův bod. Koukal jsem do letošního seriálu i do knihovničky a tam je většina dost těžká (úlohy z IMO). Potřeboval bych úlohy tak pro prvák SŠ, takže možná něco z MO nebo minulých let PraSete, ale klidně i lehčí, pokud si na něco vzpomenete. Předem děkuji za rady.
Miroslav Olšák | org | 6. 5. 2017 11:56:35
Ahoj,
rozhodl jsem se vydat animovanou verzi své přednášky "Komplexní čísla geometricky". Enjoy!
http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~mirecek/Komp...
Marián Poppr | org | 17. 4. 2017 21:51:05
Ahoj,
Hinty k 3.jarní sérii spolu se závěrečnou seriálovou sérií jsou nýčko k nahlédnutí:

1. úloha+ skrytý text
Všimni si, že L leží na AA´. V jakém vztahu je L a Gergonnův bod trojúhelníku A´B´C´? + skrytý text
Jsou totožné. Zbytek řeší záporná stejnolehlost z kamaráda Gergonnova bodu.

2. úloha + skrytý text
Jak vypadá feuerbachova křužnice trojúhelníku XYZ?+ skrytý text
Má poloviční poloměr oproti kružnici opsané a je pevně daná dvěma středy ze zadání. Mohla by být různá od \gamma?+ skrytý text
Ne. Zobraz kružnici opsanou ve stejnolehlosti podle bodu X s vhodným koeficientem a použij ostroúhlou trojúhelníků.

3. úloha + skrytý text
OH prochází opsištěm A1B1C1+ skrytý text
Jak vypadá pedal triangle k bodu X v trojúhelníku A1B1C1?+ skrytý text
Nakonec použij druhou Fontenovu větu




1. úloha + skrytý text
chvilku si hraj
+ skrytý text
např 4066

2. úloha+ skrytý text
Neexistuje
+ skrytý text
Muselo by být tvaru pq^4 a zároveň dělitelné deseti

3. úloha + skrytý text
Kdy je číslo 700..0 -1 dělitelné 7?

4. úloha + skrytý text
n musí dělit rozdíl nějakých dvou čísel vybraných z n+1 nejmenších jedničkových čísel
+ skrytý text
dirichletův princip

5. úloha + skrytý text
Skus přičítání opakovat dokud nebude na tabuli číslo s větším počtem cifer.

6. úloha + skrytý text
50 jde a více ne
+ skrytý text
například prvních deset nech normálně a pak na střídačku vždy dalších deset buď nech jak jsou a nebo napiš pozpátku

+ skrytý text
spáruj čísla s čísly od 10 vyššími nebo menšími a použij dirichletův princip

+ skrytý text
jak se spárovaná čísla liší?

7. úloha + skrytý text
Řeš pro k>2 a všimni si, že n má stejný zbytek pod dělení k-1 jako jeho ciferný součet v soustavě o základu k.
+ skrytý text
Dále nahlédni, že k-kruté číslo nemůže mít více než 2k-2 cifer
+ skrytý text
Dirichletovým principem vyber 3 čísla se stejným zbytkem po dělení k-1 a zkoumej rozdíl největšího s nejmenším

8. úloha + skrytý text
+ skrytý text
N>=101
spoiler]Stačí ukázat pro 101. Pepa vysčítá desetinásobky čísel na lichých pozic a čísla na sudých pozicích, výsledek vymodulí 100 a zakryje čísla na výsledné a plus-první pozici

+ skrytý text
Pro N<100 srovnej počet možných stavů, které může Pepa vytvořit s počtem možných čísel
+ skrytý text
(N-1)10^{(N-2)} a 10^N
Štěpán Šimsa | org | 25. 3. 2017 00:45:53
Ahoj,
kdo by chtěl na poslední chvíli potrénovat před celostátkem MO, může si udělat k tomu určený TRiKS http://iksko.org/triks/current.php.
Marián Poppr | org | 7. 3. 2017 20:24:17
Hle,
nové Hinty,
zde.

1.úloha + skrytý text
\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}

2.úloha + skrytý text
posuň vrchol jehlanu nad jeden z vrcholů podstavy

3.úloha + skrytý text
Z vrcholů krychle vyber ty, co tvoří pravidelný čtyřstěn a promítni ho na jednu stanu krychle.

4.úloha + skrytý text
Vezměme rovinu danou středem slunce a libovolnými dvěma planetami. Tato rovina protne slunce na rovníku, kolik pak planet vidíme z jednotlivých pólů?

5.úloha + skrytý text
Pepa propadne hrdlem+ skrytý text
srovnej objem, jaký největší mohou zabírat jehlany, s objemem hranolu

6.úloha + skrytý text
body D leží na kouli s průměrem AB+ skrytý text
zbytek obstará stereografická projekce

7.úloha + skrytý text
Množiny bodů dotyků z A,B,C,D se sférou tvoří vně se dotýkající kružnice kA,kB,kC,kD. Zvolme si například bod A1, jakožto bod dotyku kA a kB. Jak se zobrazí ve stereografické projekci na rovinu kružnice kA, kB, kC, kD, když A1 je severní pól?+ skrytý text
A a k´B budou rovnoběžky a k´C a k´D jsou kružnice navzájem se vně dotýkající, k´C se dotýká k´B a k´D se dotýká k´A.+ skrytý text
Tyto tři body dotyku leží ze stejnolehlosti na přímce, což řeší úlohu

8.úloha + skrytý text
Zvolme si vrchol A1 u našeho mnohostěnu M a nafoukněme M ve stejnolehlosti se středem v A1 a koeficientem 2. Tím získáme mnohoúhelník M´.+ skrytý text
Jak velký je objem M vzhledem k M´+ skrytý text
8 krát menší
+ skrytý text
S každým bodem z M´ je v M jeho polovina+ skrytý text
Tedy objem M´je patrně menší než objem všech devíti zformovaných mnohoúhelníků
Marián Poppr | org | 20. 2. 2017 20:33:31
Ahoj,
s lehkým zpozděním, ale přece, světlo světa spatřily nové Hinty a Nápovědy k 1. jarní a 2. seriálové sérii. Nechť milý čtenář shlédne níže.

1. úloha + skrytý text
Kdy sní mravenečník jiný počet mravenců než předešlý den?

2. úloha + skrytý text
Ne

3. úloha + skrytý text
Kolik vede cest z každého města?+ skrytý text
celkem je 5 měst

4. úloha + skrytý text
Seřaď sýry od nejlehčího sýra po nejtěžší a všechny liché (bez nejtěžšího sýra). Poté dej liché do jedné a všechny sudé do druhé skupiny. Všimni si, že rozdíl těchto skupin musí být lehčí než poslední sýr, což řeší úlohu

5. úloha + skrytý text
Kdyby v každé skupině existovalo nějaké číslo s konečným počtem násobků, tak kolikrát by byl zastoupen součin násobků všech těchto čísel v daných skupinách?

6. úloha + skrytý text
MaM :)

7. úloha + skrytý text
Použij mocnost bodu ke kružnici pro každý z vrcholů n-úhelníku. Co tím získáme pro přečuhující úseky tras ptakopysků?

8. úloha + skrytý text
Snaž se najít dokonalé párování v bipartijním grafu s partitami podle obou návrhů. Hranu mezi nimi povedeš, pokud mají odpovídající okresy nenulový průnik+ skrytý text
Použij Hallovu větu


1. úloha + skrytý text
Daná opsiště leží na ose BP+ skrytý text
Nechť N je antišvrk pro bod B, všimni si, že osy stran ICB,IAB a BN procházejí odpovídajícími opsištěmi, tedy stačilo by ukázat, že osa BN půlí pás mezi ICB a IAB+ skrytý text
stejnolehlost se středem v B a koeficientem 2

2. úloha + skrytý text
PQ a RS se protínají na AB v bodě T+ skrytý text
Simpsonova přímka
+ skrytý text
pětiúhelníky QYSBM a APYRS leží na kružnicích
+ skrytý text
Pravé úhly

+ skrytý text
A nakonec trochu úhlení

3. úloha + skrytý text
P a V jsou kamarádi
+ skrytý text
six feet tvorem

+ skrytý text
Zbytek troška hraní si s úhly kamarádů
Marián Poppr | org | 10. 1. 2017 13:01:32
Ahoj,
poslední podzimní - 4. série je již za námi, a proto se již tradičně objevili k ní odkazující Hinty a Nápovědy. Račte číst dále.

1. úloha+ skrytý text
g(f(x)) nemůže být prostá, f(g(x)) může
+ skrytý text
např. g(x)=x

2. úloha+ skrytý text
zkoumej nejmenší číslo, ve kterém funkce dosáhne svého minima

3. úloha + skrytý text
Například f(x) jako |x-1|

4. úloha+ skrytý text
dosaď do rovnice l a 1/l kde l je různé od nuly

5. úloha+ skrytý text
Všimni si, že stačí ukázat, že f je vždy menší než jedna
+ skrytý text
dokaž sporem, nechť k=f(c) <1 pak f(ck)>f(y+c) což nelze
+ skrytý text
najdi y tak že y+c=ck

6. úloha+ skrytý text
stačí 2 otázky
+ skrytý text
Kdyby se Áďa zeptala na hodnotu Lucienova polynomu v dostatečně velké mocnině 10, tak by pak z výsledku mohla přečíst dané koeficienty. Avšak jak Áďa zjistí jakou mocninu 10 alespoň zvolit?+ skrytý text
Nejprve se zeptá na hodnotu Lucienova polynomu v 1

7. úloha+ skrytý text
Nejprve si všimni, že krutopřísná funkce je bijekce a můžeš si ji představit jako šipečky mezi čísly 1 až n, takto patrně vznikne spoustu cyklu, co o nich říká vlastnost krutopřísné funkce?
+ skrytý text
Délka cyklu dělí všechny čísla v cyklu. V jakých cyklech pak mohou být prvočísla p z daného intervalu?
+ skrytý text
Mohly by být v cyklech délky p nebo 1 a z výše napsané podmínky je vidět, že v cyklu délky p být nemohou
+ skrytý text
Zbývá si všimnout, že 1 musí být též v cyklu délky 1

8. úloha + skrytý text
Polož si g(n,k)=\sqrt{k\sqrt{(k+1)\cdots \sqrt{(n-1)\sqrt{n}}}} a sporem pomocí indukce ukaž, že pak g(n,k)\geq 1+ skrytý text
využij indukčního předpokladu a odhadni g(k+1,n)\geq\frac{(k+1)^2}{k} + skrytý text
Spor pak dostaň, když položíš n=k
Marián Poppr | org | 12. 12. 2016 20:48:56
Ahoj,
Hinty k 3. třetí podzimní sérii jsou již na světě, tentokrát však v rozšířeném vydání a to o nic jiného než o samotnou první sérii seriálovou. Bližší informace níže k nahlédnutí.

1. úloha+ skrytý text
V jakém poměru dělí těžiště těžnici?+ skrytý text
Trojúhelníky ABC a ADE mají společné těžiště

2. úloha+ skrytý text
Zobraz přímky ve stejnolehlosti podle opsiště s koeficientem 1/2+ skrytý text
Obrazy protínají na středu těžnice z bodu A

3. úloha + skrytý text
Všimni si, že Q je připsištěm trojúhelníku ADC.+ skrytý text
Ukaž, že trojúhelníky XQD a ADQ jsou shodné+ skrytý text
usu



1. úloha+ skrytý text
čokoládová hvězda Orion

2. úloha+ skrytý text
Ukaž, že existují alespoň dvě dvojice červeně obarvených bodů, takových že jejich spojnice prochází středem 2016úhelníku

3. úloha+ skrytý text
Jak hezky nakreslit Z?

4. úloha+ skrytý text
Lze sestrojit+ skrytý text
Například první dvě strany délky 1 a další rovny součtu stran předešlých, zbývá doladit, jakou délku může mít poslední strana?+ skrytý text
Trošku ji prodluž

5. úloha + skrytý text
63 den už umí být vlk na každém políčku+ skrytý text
Vezmi si osu od -1008 do 1008 a začni na 0. Všimni si, že vlk se umí dostat postupně na všechna políčka se stejnou paritou daného kroku. Aby se dostal i na políčka s jinou paritou tak musí oběhnout dokola

6. úloha + skrytý text
N-úhelníky tvoří 2n-cípou hvězdu. V jakém vztahu jsou trojúhelníky s vrcholy v těchto cípech?+ skrytý text
Jsou podobné
+ skrytý text
Pomocí poměrů stran (k, l) sudé/liché strany s ostatními stranami trojúhelníku vyjádři délku strany původního n-úhelníka. Získáš 2n rovnic které vhodně sečti a uprav.+ skrytý text
Zbývá ukázat že k+l-1 je různé od 0+ skrytý text
Trojúhelníková nerovnost


7. úloha + skrytý text
Pokrývací trojúhelníky triangulují mnohoúhelník+ skrytý text
Žádné dvě strany dobrých trojúhelníků se neprotínají+ skrytý text
Každá úhlopříčka v n-úhelníku, když je součástí dobrého trojúhelníka, se kouká na dva vrcholy na protějších stranách v součtu větším než 180+ skrytý text
A tak, každá taková úhlopříčka je součástí právě dvou dobrých trojúhelníků

8. úloha + skrytý text
Kaktus vyhraje+ skrytý text
Vyhraje ten ,kdo začerní jako první n vrcholů+ skrytý text
Trojúhelník je ostroúhlý právě tehdy, když obsahuje svůj střed
+ skrytý text
Zbytek udělej indukcí+ skrytý text
Pro n>2 kaktus zahraje co nejvíc naproti tahu Rada
Marián Poppr | org | 16. 11. 2016 09:33:04
Ahoj,
k 2. podzimní sérii přibyla nová kolekce Hintů, Tipů a Triků.

1. úloha+ skrytý text
Co se stane s dvojkou po prvním zaklínadle?

2. úloha+ skrytý text
Když od dostatečně velkého prvočísla odečteme liché číslo, tak dostaneme sudé číslo.+ skrytý text
Kdy jsou pro prvočíslo p čísla p-9 a 9 složená?

3. úloha+ skrytý text
Jak se mění parita počtu prvočísel v jednotlivých městech?

4. úloha+ skrytý text
Mezi 6 po sobě jdoucími čísly jsou zastoupeny všechny zbytky po dělení 6, ukaž, že jedno z čísel 6k+1 a 6k+5 musí být dělitelné prvočíslem větším než 6.+ skrytý text
Jak velký je rozdíl těchto čísel, mohou být obě dělitelné 5?

5. úloha+ skrytý text
Skus vyjádřit 5n+3 jako rozdíl nějakých dvou čtverců.+ skrytý text
Když 2n+1=A^2 a 3n+1=B^2, tak 5n+3=(2A-B)(2A+B)
+ skrytý text
Pro spor, kolik by muselo být (2A-B)?+ skrytý text
Dosaď zpátky a ukaž, že nějaká kvadratická rovnice nemá reálný kořen

6. úloha+ skrytý text
Nechť existuje konečně mnoho počtů hrušek, kdy má Martin prohrávající strategii a n je největší z nich. Tedy všechny počty větší než n jsou pro Martina vyhrávající, tedy musí existovat tah do prohrávající pozice. Najdi číslo, ze kterého se pak už Martin nemůže dostat do žádné pozice 1 až n.+ skrytý text
Např. (n+1)! + n+1 . Jaké dělitele pak mají čísla od (n+1)! +2 do (n+1)! +n+1?

7. úloha+ skrytý text
Stačí sledovat nesoudělné 2016-tice+ skrytý text
Mějme nějaké prvočíslo p, které dělí jedno z 2016-tice, ukaž, že 4-té mocniny libovolných jiných čísel z 2016-tice dávají stejný zbytek po dělení p+ skrytý text
Potom však už p musí být rovno 3+ skrytý text
Jedinými řešeními jsou sety, kdy jsou všechny čísla stejná a přirozená anebo právě jedno je třikrát větší než libovolné jiné.

8. úloha+ skrytý text
Nechť p je prvočíslo větší než 2, pak úlohu řeší všechny čísla n rovna p^2^k kde k je nějaké přirozené číslo. Polož f(k)= p^2^k+1. Ukaž, že existuje k takové, že f(k) je dělitelné prvočíslem větším než p+ skrytý text
f(k) není děl 2+ skrytý text
kvadratické zbytky
+ skrytý text
Všimni si, že f(k)=(p-1)*(p+1)*(p^2+1)*.*(p^2^(k-1)+1) a pomocí dirichletova principu ukaž, že f(k) větší než p nemůžou mít dělitele jen menší než p+ skrytý text
Nakonec si vezmi to k, které je nejmenší a pro p(n-1) opět použij rozklad a využij toho, že k bylo voleno nejmenší možné
Marián Poppr | org | 9. 10. 2016 22:31:22
Ahoj,
v závěsu za 1. podzimní série tu jsou první letošní Hinty. Nepodařilo se Ti vše vyřešit všechny úlohy a nedá Ti nějaká úloha spát? Pak máš skvělou příležitost, jak si úlohy ještě jednou, mimo soutěž, vyzkoušet.

1. úloha+ skrytý text
Co zjistíme, když vytáhneme kus pokladu z truhly pro zlaté mince a diamanty?

2. úloha+ skrytý text
Spoj Rada a Sofii přímkou.

3. úloha+ skrytý text
Kolikáté by dojely první a poslední startující kanoe?

4. úloha+ skrytý text
Pro jaká tři trojciferná čísla platí obdobná vlastnost?+ skrytý text
Zkus je složit z cifer 4,5,9

5. úloha+ skrytý text
Jakou barvu má jednička?+ skrytý text
Když n je nejmenší červené číslo, indukcí ukaž, že červené jsou právě násobky n

6. úloha+ skrytý text
Úhel u A je pravý+ skrytý text
Jak odříznout od strany PE dva trojúhelníky, abychom pak mohli získat čtverec s vrcholem u A?

7. úloha+ skrytý text
Stačí 2n-3 billboardů+ skrytý text
Ukaž, že pro každé uspořádání vesnic a billboardů existuje promítnutí na nějakou přímku, tak aby se počet billboardů nezvětšil.+ skrytý text
Kolik středů stačí na přímce? Seřaď si města, jdi například zleva doprava a vždy si zafixuj jedno město, kolik takto nesplývajících středů jistě dostaneš?+ skrytý text
Konstrukcí ukaž, že 2n-3 pro n>1 jde sestrojit.

8. úloha+ skrytý text
Opakuj postup, kdy v každém kroku dorazí nějaký vietnamec do čtverce o dané velikosti s informací, že se pořádá party. Podle počtu vietnamců ve čtverci ho rozděl případně na 4 menší, kde postup zopakuješ+ skrytý text
Odhadni maximální možnou uraženou cestu a sečti geometrickou posloupnost.
Wiki | 30. 8. 2016 23:12:19
https://cs.wikipedia.org/wiki/Parci%C3%A1ln%C...
Daniel Herman | 24. 8. 2016 19:33:37
Ahoj,
nedá mi spať a neviem koho sa opýtať, tak sa obraciam na vás. Uvažujme, že viem ako derivovať funkciu podľa x aj y. Ako môžem potom zderivovať napr. f(x,y)=xy/(x^2+y^2). Musím si rozdeliť plochu tejto funkcie na rôzne časti? Celkovo ma zaujíma ako sa dá zderivovať funkcia kde máme rôzny počet premenných a aj umocnených. Ako sa postupuje v R^3 alebo R^n?

Vďaka za každú pomoc :)
David Hruška | org | 7. 6. 2016 01:13:36
Každou chvilku začne další TriKS! Ukažte, že vás písemky úplně nezničily :-)
http://iksko.org/triks/current.php
<< < 1 2 ... 31 32 > >>

Kontakt

email mks (zavináč) mff.cuni.cz
pošta Korespondenční seminář
KAM MFF UK
Malostranské náměstí 25
118 00   Praha 1

Organizátoři

mff

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

pix