Jméno:

b i u AA AA \TeX link skrytý text
Anti-spamová kontrola: Kolik je jedna a čtyři? (slovy)
Matematická sekcerss-icon
<< < 1 2 3 ... 31 32 > >>
Marián Poppr | org | 18. 4. 2016 21:01:54
Ahoj ahoj,
je tu rozšířené vydání Hintů k 3.jarní serii s Tipy k závěrečnému dílu seriálu. Pro bližší informace račte shlédnout níže.

1. úloha+ skrytý text
vezmi špetku jedné kružnice a tři díly rovnoběžných přímek..

2. úloha+ skrytý text
vrchol C je vrcholem nějakého pravoúhlého trojúhelníka+ skrytý text
Použij obvodové úhly v tětivovém čtyřúhelníku

3. úloha+ skrytý text
označme P jako průsečík AX a BY, stačilo by nám kdyby úhel APB měl stále stejně velkou velikost+ skrytý text
Jaké vnitřní úhly má trojúhelník AYP?

4. úloha+ skrytý text
ukaž, že čtyřúhelník MPOC je rovnoběžník+ skrytý text
Čtyřúhelník POMN je tětivový, v jakém vztahu jsou úhly trojúhelníku NOC?

5. úloha+ skrytý text
pokud promítneme úsečku délky jedna na sousedící strany čtverce, jak velké budou dohromady tyto promítnuté díly?+ skrytý text
Jaký je součet obrazů všech promítnutých úseček?

6. úloha+ skrytý text
mějme bod M na CB, tak že DC=CM a AB=BM, jaké jsou pak trojúhelníky DCE, MCE a ABE, MBE a z toho se už dopočítej součtu úhlů FDE a FAE+ skrytý text
DCE, MCE a ABE, MBE jsou shodné, proč?+ skrytý text
Všimni si, že E je střed kružnice opsané v trojúhelníku DMA

7. úloha+ skrytý text
stačí ukázat, že úhel QDP je menší než QBP, jakou velikost má první jmenovaný?+ skrytý text
90°
+ skrytý text
Všimni si, že body P a Q jsou středy kružnic připsaných nějakých trojúhelníků, najdi je a zbytek doúhli

8. úloha+ skrytý text
2016 průsečíků jde+ skrytý text
i. Vezměme 504 rovnostranných trojúhelníků a umístíme na každý umístěte 4 kružnice, tak aby tvořili dohromady 4 průsečíky
+ skrytý text
Pro ukázání, že méně už nejde, přiřaď každé kružnici skóre 1 a rovnoměrně ho rozděl mezi průsečíky. Za skóre průsečíku pak měj součet přiřazených skóre ze všech kružnic průsečíkem procházejících. Ukaž, že každý průsečík má skóre maximálně 1+ skrytý text
Když průsečíkem prochází n kružnic, tak kolik průsečíků alespoň leží na daných kružnicích
+ skrytý text
Závěrem si všimni, v jakém vztahu jsou součty skóre kružnic a průsečíků.


1. úloha+ skrytý text
Vytvoř si vícerozměrnou funkci z w->x, která k danému přirozenému číslu přiřadí všechny čísla z X větší nebo rovná danému přirozenému číslu+ skrytý text
Axiom výběru
+ skrytý text
Poté vytvoř požadovanou rekurentní posloupnost

2. úloha+ skrytý text
Použij Cauchyovu rovnici a rozděl R+ na ty, pro která ti nějaká funkce dá záporné hodnoty a na ty co ti dá nezáporné

3. úloha+ skrytý text
Použij transfinitní rekurzy na kardinál c (|R×R×R|=c) a pomocí principu dobrého uspořádání
uspořádej body v prostoru xa kružnic ka, tak že xa E ka+ skrytý text
Pokud bodem xa NEprochází žádná kružnice Ka={kB, B<a}, ukaž že jím lze proložit rovinu kde zatím neleží žádná kružnice+ skrytý text
Kružnic jsme zatím určili méně než kontinuum a vzhledem k nějaké ose (třeba z) kartézské soustavy souřadnic se středem xa, svírají úhel z [0,pi), který je kontinuum
+ skrytý text
Rozmysli si, že ve zvolené rovině leží z každé kružnice Ka nejvýše 2 body, kolik je tedy bodů celkem?+ skrytý text
|2a|<c
+ skrytý text
Nyní ukaž, že lze najít hledanou kružnici ka v dané rovině+ skrytý text
Vybíráme z kontinua možných kružnic a |4a|<c

Radek Olšák | 9. 4. 2016 18:56:35
Zdravím,
nedávno náhodou vyšlo pěkné video, které se tématem hodí k seriálu. K 3. dílu sice už moc ne, ale předchozí dva hezky shrnuje. https://www.youtube.com/watch?v=SrU9YDoXE88

Radek
David Hruška | org | 30. 3. 2016 02:06:07
Ahoj, je tady nové kolo TriKS jako trénink na celostátní kolo MO! http://iksko.org/triks/current.php
E.T. | org | 15. 3. 2016 02:12:37
Baví tě matika, ale ne dlouhé sepisování? Jsi týmový hráč? Chceš vyhrát super ceny? Pak neváhej ani minutu a přihlaš se spolu s týmem ze své školy na Náboj.
Že nevíš o co jde? Podívej se na následující odkaz a vše se dozvíš. https://math.naboj.org/.
Marián Poppr | org | 14. 3. 2016 13:01:19
Ahoj, jsou tady zbrusu nové nápovědy k 2.jarní serii

Úloha 1+ skrytý text
Napiš si všechny dvojciferné druhé mocniny přirozených čísel

Úloha 2+ skrytý text
Nejprve vyzkoušej p rovno 2 nebo 3, a potom ukaž, že pro p>4 by byl výraz dělitelný 3

Úloha 3+ skrytý text
Umocni první nerovnost na c-tou a druhou na a-tou

Úloha 4+ skrytý text
Rozmysli, si že můžeš výraz upravovat tak, že v každém kroku ho umocníš podle vnější odmocniny a pak od obou stran odečteš mocninu, na kterou si umocňoval+ skrytý text
Na konci získáš na levé straně 0, zbývá ukázat, že napravo je číslo kladné+ skrytý text
Po každém kroku se však pravá strana nezmenší-proč?

Úloha 5+ skrytý text
Koukni se, jaký zbytek budou dávat čísla ze součtu po dělení 10^1008+ skrytý text
2016 je 1008*2 :)

Úloha 6+ skrytý text
Co kdyby se nám náhodou povedlo najít čísla A a B, pro která platí, že A-B=(sqrt(2)-1)^2016 a
A+B=(sqrt(2)+1)^2016, jak velké je pak A^2-B^2?
+ skrytý text
Pro nalezení hledaných čísel skus třeba binomickou větu

Úloha 7+ skrytý text
Hodilo by se třeba, kdyby součet Matějových a Radových čísel dával stejný zbytek po dělení nějakým větším číslem než je milion+ skrytý text
2*3*5*7*13*19*37=1919190>10^6 ,co mají tyto čísla společné?+ skrytý text
Každé z čísel v součinu bez jedné dělí 36, teď by se nějak šikovně hodilo použít Malou Fermatovu větu+ skrytý text
A nakonec si vzpomeň na Čínskou zbytkovou větu

Úloha 8+ skrytý text
2 a 4 úlohu řeší+ skrytý text
Polož n=p(p-1)+2 kde p je dostatečně velké prvočíslo, jaké? + skrytý text
Liché a větší než abs z 2^a-a^2
+ skrytý text
Jaký zbytek pak dává a^n-n^a po dělení p?+ skrytý text
Malá Fermatova věta
+ skrytý text
Ukaž, že p dělí 2^a-a^2+ skrytý text
Skus položit a=2
+ skrytý text
Jak velké je tedy 2^a-a^2? + skrytý text
Kolik takových p je?
+ skrytý text
Zbytek dořeš trochou počítání
Jirka | 7. 3. 2016 14:49:55
Mirek: Lepší by bylo 28*36, pro podobnější poměr stran papíru :-D
David Hruška | org | 2. 3. 2016 15:57:46
Ahoj, chceš jet v září na zbrusu nové polsko-česko-slovenské matematické soustředění? Tak neváhej a vyřeš co nejvíce úloh z http://atrey.karlin.mff.cuni.cz/~stepan/Quali.... Více informací najdeš na plakátu https://drive.google.com/folderview?id=0Bxord....
Miroslav Olšák | org | 27. 2. 2016 18:04:14
Nemusíš, stačí, když srozumitelně popíšeš, jak budou vypadat.
Ale zas můžeš, jestli chceš. Takových 21*48 cifer se na papír vejde :-)
MarieH | 26. 2. 2016 19:53:51
Ahoj, chtela jsem se zeptat, jestli u ulohy 5 mam opravdu psat vsech 1008 cifer ?
Miroslav Olšák | org | 16. 2. 2016 12:17:18
Zkus třeba server Matematika
http://www.matematika.cz/mocniny

Pro řešení rovnic jako 2^x = 5 se pak používá funkce logaritmus (o tom se tam když tak taky dá něco najít).
Martin Zimen | 15. 2. 2016 22:22:50
Ahoj,
začal jsem řešit sérii (Od)mocniny a uvědomil jsem si, že vlastně vůbec netuším co mám dělat, když je neznámá exponent. Jsem v prváku a vždy jsem se setkal pouze s 2 mocninou, nedejbože 3. Neporadili byste nějaké obecné rady a triky nebo materiál, ze kterého bych se mohl přiučit.
Díky, Martin
Miroslav Olšák | org | 15. 2. 2016 16:48:24
Ahoj, nabízím ještě svoje alternativní hinty k seriálu :-)

1. úloha + skrytý text
Množina b má být množina všech podmnožin prvků množiny a. Jsou dvě možné cesty, jak ji získat:
(i) + skrytý text
a -> sjednocení -> potence -> vydělení -> b

(ii) + skrytý text
a -> (nahrazení + potence) -> sjednocení -> b


2. úloha + skrytý text
Uvědom si, že každé lokální maximum je maximem na nějakém intervalu s racionálními konci. Těch již je jenom spočetně mnoho.

3. úloha + skrytý text
Vlastnost (ii) musí nutně platit (stačí si rozmyslet, co říká). Je třeba hlavně dokázat nespočetnost.
(1) + skrytý text
Uvědom si, že nespočetnost je totéž, co neomezenost

(2) + skrytý text
Vezmi prvek x\in\omega_1, stačí ukázat, že v průniku leží prvek větší než x.

(3) + skrytý text
Najdi nekonečnou posloupnost x < a_0 < b_0 < a_1 < b_1 < \cdots, ve které se střídají prvky z obou pronikaných množin.

(4) + skrytý text
Ukaž, že sjednocení této posloupnosti leží v průniku.

Marián Poppr | org | 15. 2. 2016 16:14:12
Ahoj,
právě přibyla tradiční várka nápověd k první jarní serii a k ní hinty pro druhou seriálovou serii:

první jarní serie

1. úloha+ skrytý text
Hraj si+ skrytý text
Existují tři způsoby

2. úloha+ skrytý text
Pro spor mějme dvě města, co nejsou propojena, existuje nutně mezi těmito dvěmi městy město, přes které můžeme mezi zvolenými městy cestovat?

3. úloha+ skrytý text
Ukaž, že se potkají právě jednou+ skrytý text
A to když Bára dožene Kubu+ skrytý text
Ještě by se mohli potkat uprostřed+ skrytý text
Sestav rovnici a zkoumej paritu

4. úloha+ skrytý text
Všimni si, že pokud by se Jerry k sýru nedostal hned v prvním tahu, tak mu Tom už vždy zabrání+ skrytý text
Stačí tedy, aby vždy existovaly právě dvě místnosti, mezi kterými není chodba

5. úloha+ skrytý text
Vezmi dvě místnosti A a B a nejkratší cestu délky s, poté pro libovolnou místnost (=C) mezi nimi, ukaž, že existují dvě cesty přes všechny místnosti o délce 3s+ skrytý text
Cesta C->A->B a C->B->A+ skrytý text
Je pak nejkratší cesta z C už určitě kratší než 1,5s?

6. úloha+ skrytý text
Pokud by se Štěpán s Filipem potkali v X, jak rychle by Viki prošel trasu A->B->X->C?+ skrytý text
A->B->X->C je delší než A->B->C, teď už to stačí jen dát dohromady a vysporovat

7. úloha+ skrytý text
Použij indukci a rozliš dva případy, pokud existuje org, který jde vždy s někým+ skrytý text
Pokud ano, odeberem ho a použijem indukci+ skrytý text
Pokud ne, vytvoř dvě skupiny (A,B) orgů, kde spolu orgové nikdy nešli.+ skrytý text
i. Vždy se podívej kdo z dané skupinky orgů došel nejdál

8. úloha+ skrytý text
Ukaž, že kdyby d a h nedávali stejný zbytek po dělení 4, tak že se David s Honzou zacyklí na cestě o délce 4dh a dál se nedostanou+ skrytý text
Podívej se, jak se pohybuje auto každých dh kilometrů+ skrytý text
Je patrné, že d a h musí dávat tedy zbytek 1 a 3 po dělení 4, zbývá tedy ukázat, že za prvních dh tahů se posune vždy o 1 kilometr po přímce mezi startem a cílem+ skrytý text
Nyní si můžeme například znázornit situaci do komplexní roviny kde se chceme dostat z (0,0) do (1,0) a o směrech (1,i,-1,-i). Zvolme si například variantu kdy d a h dávají zbytek 1, pak chcem ukázat že součet směrů je roven jedné, nebo-li součet mk:=(-i)^(k div h) i^(k div d) pro k od 0 do kh-1+ skrytý text
Uprav mk jako (-i)^(ak) i^(bk) (kde ak a bk jsou zbytky po dělení k čísly h a d), zbytek dořeš čínskou zbytkovou větou+ skrytý text
i. Dvojici (ak,bk) odpovídá (k mod h, k mod d)


seriál

1. úloha+ skrytý text
Tvrzení říká, že ke každé množině A existuje množina B, která obsahuje všechny podmnožiny množin náležících A+ skrytý text
Vytvoř si podmnožinu každého prvku A+ skrytý text
Použij axiom potence a schéma axiomu nahrazení+ skrytý text
Zbytek dořeš axiomem sjednocení

2. úloha+ skrytý text
Zobraz lokalní maximum x do dvojice racionálních čísel+ skrytý text
x je v prvek z intervalu (a,b), kde f(x)<f(c) pro všechny c z (a,b) různá od x. Jak tedy najdeme hledaná rac. čísla?+ skrytý text
Mezi každými dvěmi reálnými čísli je alespoň jedno rac. tedy i mezi a a x a b a x


3. úloha+ skrytý text
Nejprve zkoumej, jak velké bude sjednocení spočetné množiny spočetných ordinálů+ skrytý text
Což je spočetný ordinál+ skrytý text
Použij definici suprema

+ skrytý text
Zkoumej, jak velké bude supremum nejmenší spočetné podmnožiny X (=Nx)+ skrytý text
Použij transfinní indukci a dokaž, že lib. Konečný ordinál větší než supremum N náleží do X
+ skrytý text
Konečně ukaž, že průnik dvou šikovných množin X a Y bude nespočetný, tedy bude obsahovat všechny spočetné ordinály větší než max(sup(Nx,Ny))+ skrytý text
Podmínka ii už není příliš obtížná :)
Evžen Wybitul | 4. 2. 2016 08:06:45
Dobře, příště si dam pozor. Promiň a díky za odpověď :)
E.T. | org | 3. 2. 2016 04:24:14
Ahoj Evžene,

Tom umísťuje Jerryho i sýr sám dle vlastního výběru. Příště se nás ale, prosím, ptej na nejasnosti k aktuálním úlohám pomocí e-mailu (mks (zavináč) mff.cuni.cz). (V sekci chatu "Pokec" je tato výzva dokonce zvýrazněna.) Nechceme účastníky zbytečně otravovat a omezovat v používání chatu, ale špatně položený dotaz by mohl ostatním prozradit řešení. Tvůj dotaz je celkem nevinný, takže se nic neděje, ale příště nám pro jistotu piš na e-mail.

Hodně štěstí při řešení!
Evžen Wybitul | 1. 2. 2016 21:57:35
Ahoj

Moc mi není jasné zadání úlohy číslo 4 z první jarní série (Tom a Jerry). Umisťuje Tom sýr i Jerryho sám, nebo je jejich umístění náhodné?

Díky
Daniel Herman | 31. 1. 2016 23:49:38
Ďakujem :)
Miroslav Olšák | org | 31. 1. 2016 18:59:38
Tohle je nahlížecí úloha, přečtu a vidím, že to platí, žádné převádění na jiné vzorečky :-)

Konkrétně tedy příklad 2: Máš dvě n-prvkové hromádky bílých kamínků. Tak to, že si z nich dohromady vezmeš m kamínků znamená, že si jich z první vezmeš nějaké k a z druhé n-k.
Daniel Herman | 31. 1. 2016 16:18:08
Pýtam nejakú dobrú dušu o pomoc. Z knižnice - Počítání dvěma způsoby - Príklad 2. http://mks.mff.cuni.cz/library/Pocitani2Zpuso... Viem, že
\sum_{k=0}^n {n \choose k}^2 = {2n \choose n}
ale ďalej sa dostať neviem.
Za každú pomoc ďakujem.
David Hruška | org | 25. 1. 2016 23:33:54
Adam: Jasně, napiš mi na d.hruska@centrum.cz.
<< < 1 2 3 ... 31 32 > >>

Kontakt

email mks (zavináč) mff.cuni.cz
pošta Korespondenční seminář
KAM MFF UK
Malostranské náměstí 25
118 00   Praha 1

Organizátoři

mff

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

pix