Kenny | 4. 10. 2011 11:07:14
K úloze od BakyX. Esence problému se skrývá v následujícím tvrzení
+ skrytý text
+ skrytý text
Jacobi's theorem:
. Najdeme body tak, že , , .
Pak procházejí jedním bodem.
Důkaz tvrzení pomocí goniometrického tvaru Cevovy věty jistě zvládnete, stejně jako jeho aplikaci pro trojúhelník v zadané úloze.
. Najdeme body tak, že , , .
Pak procházejí jedním bodem.
Důkaz tvrzení pomocí goniometrického tvaru Cevovy věty jistě zvládnete, stejně jako jeho aplikaci pro trojúhelník v zadané úloze.
BakyX | 30. 9. 2011 00:07:51
Ja som si to všimol. A aj to, že s nimi to každý vyrieši :)
Josef Tkadlec | 29. 9. 2011 18:32:51
Fííha... To jste si všimli, že na stránkách olympiády (http://www.math.muni.cz/~rvmo/) se objevily návodné a doplňující úlohy k domácímu kolu?
Josef Tkadlec | 27. 9. 2011 14:26:43
Jinak koukám, že nám tady ještě zbyla jedna otevřená úloha od BakyXe z konce července. A je to geometrie, to je potřeba podporovat!
V ostrojuholnom trojuholníku označme , , päty výšok na strany , , . Označme , , stredy kružníc vpísanych trojuholníkom , , . Dokáž, že priamky , , prechádzajú jedným bodom.
Následuje řešení. Není zrovna rychlé, ale zato je poměrně standardní a poučné, byť vyžaduje trochu pokročilejší nástoroje. Jestli někdo máte nějaké elementárnější řešení, sem s ním!
+ skrytý text
V ostrojuholnom trojuholníku označme , , päty výšok na strany , , . Označme , , stredy kružníc vpísanych trojuholníkom , , . Dokáž, že priamky , , prechádzajú jedným bodom.
Následuje řešení. Není zrovna rychlé, ale zato je poměrně standardní a poučné, byť vyžaduje trochu pokročilejší nástoroje. Jestli někdo máte nějaké elementárnější řešení, sem s ním!
+ skrytý text
Kresli si obrázek :). Chceme dokázat, že v trojúhelníku se přímky , a protínají v jednom bodě. Na to je "známé" kritérium -- jmenuje se Cevova věta (viz http://en.wikipedia.org/wiki/Ceva's_theorem). My použijeme její trigonometrickou verzi. Stačí tedy ukázat, že
Úhly, jejichž siny ve vztahu vystupují, jsou dost nepříjemné, zkusme se jich proto zbavit. Použitím sinové věty pro trojúhelník máme
Představme si teď, že podobnými výrazy nahradíme všechny siny v dokazovaném vztahu. Chceme říct, že se na jeho levé straně všechno pokrátí a opravdu dostaneme jedničku.
Délky hlavních úhlopříček , , se pokrátí, protože každá z nich bude vystupovat jednou v čitateli a jednou ve jmenovateli. Podobně se pokrátí siny úhlů, neboť (rozmysli si :) ). Zbývá dokázat, že
Povšimněme si, že trojúhelníky , a jsou všechny podobné trojúhelníku (s vrcholy v tomto pořadí). Označíme-li střed kružnice vepsané celému trojúhelníku , můžeme díky těmto podobnostem psát
Vynásobením těchto tří vztahů jsme hotovi. Byla to fuška, ale máme to :).
Úhly, jejichž siny ve vztahu vystupují, jsou dost nepříjemné, zkusme se jich proto zbavit. Použitím sinové věty pro trojúhelník máme
Představme si teď, že podobnými výrazy nahradíme všechny siny v dokazovaném vztahu. Chceme říct, že se na jeho levé straně všechno pokrátí a opravdu dostaneme jedničku.
Délky hlavních úhlopříček , , se pokrátí, protože každá z nich bude vystupovat jednou v čitateli a jednou ve jmenovateli. Podobně se pokrátí siny úhlů, neboť (rozmysli si :) ). Zbývá dokázat, že
Povšimněme si, že trojúhelníky , a jsou všechny podobné trojúhelníku (s vrcholy v tomto pořadí). Označíme-li střed kružnice vepsané celému trojúhelníku , můžeme díky těmto podobnostem psát
Vynásobením těchto tří vztahů jsme hotovi. Byla to fuška, ale máme to :).
Šavlík | org | 25. 9. 2011 15:02:06
Pavel: Střídají se po jednom podání.
Pavel Šalom | 25. 9. 2011 14:50:21
Co znamená pravidelné střídání podání? Znamená to, že se střídají přesně po jednom podání, nebo to znamená, že se mohou střídat třeba vždy po třech podáních?
Josef Tkadlec | 25. 9. 2011 01:01:06
Tak to abychom ji využili! :) Neváhejte sem (schovaně) psát nápady, dílčí řešení, komentáře nebo vlastně cokoliv k následující úloze:
Dva hráči ( a ) hrají proti sobě něco jako tenis. Oba mají nějakou (ne nutně stejnou) pevnou šanci na to, že míček, který sami podávají, vyhrajou. Kdo první vyhraje míčků, vyhrává celkově. Podání se střídá podle jednoho ze dvou schémat: Buď pravidelně, nebo vždycky podává ten, kdo vyhrál minulý míček (vždy začíná podávat ).
Dokažte, že šance hráčů na celkovou výhru nezávisí na volbě schématu.
Dva hráči ( a ) hrají proti sobě něco jako tenis. Oba mají nějakou (ne nutně stejnou) pevnou šanci na to, že míček, který sami podávají, vyhrajou. Kdo první vyhraje míčků, vyhrává celkově. Podání se střídá podle jednoho ze dvou schémat: Buď pravidelně, nebo vždycky podává ten, kdo vyhrál minulý míček (vždy začíná podávat ).
Dokažte, že šance hráčů na celkovou výhru nezávisí na volbě schématu.
Miško | org | 24. 9. 2011 13:20:30
Ahoj, máme pre vás novú feature:
+ skrytý text
+ skrytý text
Šavlík pre vás naprogramoval skrývanie textu!
Josef Tkadlec | 20. 9. 2011 21:50:16
Že jsem se ale musel snažit... A co, bolelo to? :D
Martin Čech | 20. 9. 2011 21:34:48
Pepa mě donutil, abych sem napsal, že jsem to vyřešil bez hintu, a že to čtvrté číslo je 164. Jsou to jediná trojciferná čísla s různými ciframi, která když zapíšeme v desítkovém zápisu ve tvaru ABC, tak platí, že A*BC=C*AB.
Miroslav Olšák | org | 20. 9. 2011 14:04:00
Dobra, tak s hintem uz jsem Pepovu trojcifernou hricku vyresil. Kdo dal?
Zbyněk | 15. 9. 2011 17:18:47
@Pepa: docela zajímavý, že se z té české olympiády dostala do sbírky PEN (stojí za stáhnutí)
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/view...
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/view...
Josef Tkadlec | 15. 9. 2011 12:36:55
Hrál jsem si tak jednou s trojcifernými čísly, která mají všechny cifry různé, a napadla mě zajímavá vlastnost, kterou by taková čísla mohla mít. Po chvilce počítání jsem zjistil, že existují přesně čtyři čísla s touto vlastností (trojciferná s různými ciframi). Tři z nich jsou 195, 265 a 498. Co je to za vlastnost? Které číslo je to čtvrté? :)
P.S. Předchozí úloha byla (věřte nevěřte) z archivu české matematické olympiády. Můžete se o tom přesvědčit na http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/48/A48s.pdf.
P.S. Předchozí úloha byla (věřte nevěřte) z archivu české matematické olympiády. Můžete se o tom přesvědčit na http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/48/A48s.pdf.
Josef Tkadlec | 9. 9. 2011 15:03:29
Našel jsem dobrou legrácku, tak se musím podělit. Schválně si zkuste, není těžká. A můžete taky tipovat zdroj :).
Ukažte, že pro každé přirozené číslo je hodnota součinu
celočíselná.
Ukažte, že pro každé přirozené číslo je hodnota součinu
celočíselná.
Josef Tkadlec | 5. 9. 2011 18:14:36
Na stránkách http://skmo.sk už je k vidění zadání aktuálního MEMa. A kdo že tam mimo jiné zadal úlohu...? Miško! :)
Miško | org | 30. 8. 2011 22:22:02
Tak už funguje aj TeX vložený do jedného alebo dvoch dolárov, dokonca je rozdiel medzi riadkovým a odstavcovým TeXom:
BakyX | 30. 7. 2011 23:47:25
Ďakujem.
šnEk | 29. 7. 2011 00:56:23
BakyX: Já jsem ti nakonec zapomněl odpovědět. V seriálu je jedna podobná rovnice vyřešená, podívej se na úlohu na straně 41 letošního seriálu: http://mks.mff.cuni.cz/common/show.php?title=...
V zásadě jde o to, pravou stranu rozložit na Gaussova prvočísla a levou do tvaru (a+ib)(a-ib). Pak už to půjde snadno.
Jinak Gaussova prvočísla jde samozřejmě i objejít, jedna z těch snazších možností je zkusit rovnici ještě převést do hezčího tvaru
,
tohle řešení se dá najít třeba v archivech olympiády http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/55/A55i.pdf.
Druhá možnost je uhodnout řešení a použít geometrickou metodu z posledního dílu předloňského seriálu.
Žádný z těch řešení není nic moc extra, ale poprat se s tím dá.
V zásadě jde o to, pravou stranu rozložit na Gaussova prvočísla a levou do tvaru (a+ib)(a-ib). Pak už to půjde snadno.
Jinak Gaussova prvočísla jde samozřejmě i objejít, jedna z těch snazších možností je zkusit rovnici ještě převést do hezčího tvaru
,
tohle řešení se dá najít třeba v archivech olympiády http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/55/A55i.pdf.
Druhá možnost je uhodnout řešení a použít geometrickou metodu z posledního dílu předloňského seriálu.
Žádný z těch řešení není nic moc extra, ale poprat se s tím dá.
anonym | 28. 7. 2011 21:12:41
ahoj dokazali byste nebo vyvratili tudle nerovnost pro vsechny cely cisla vetsi nez 1 000 000 http://www.wolframalpha.com/input/?_=13117999...
BakyX | 26. 7. 2011 22:17:35
Skúste si ako tréning vyriešiť túto geometrickú úlohu :)
V ostrojuholnom trojuholníku ABC označme D,E,F päty výšok na strany a,b,c. Označme G,H,I stredy kružníc vpísanych trojuholníkom AEF, BDF, CDE. Dokáž, že priamky DG, EH, FI prechádzajú jedným bodom.
V ostrojuholnom trojuholníku ABC označme D,E,F päty výšok na strany a,b,c. Označme G,H,I stredy kružníc vpísanych trojuholníkom AEF, BDF, CDE. Dokáž, že priamky DG, EH, FI prechádzajú jedným bodom.