Jak funguje přepočítávání bodů pomocí koeficientu?

Výchozí hodnotu koeficientu můžeš spočíst pomocí vzorce k' = (r-1) + m + (2z/450), kde r je ročník (přepočítaný tak, aby odpovídal čtyřletému gymnáziu, studenti a žáci plníci povinnou školní docházku mají 1/2), m má hodnotu 1 pro matematickou třídu (zaměření 01), 0,5 pro matematicko-fyzikální (zaměření 02), 0 pro ostatní a konečně z je počet bodů, které jsi získal během předchozích ročníků. Jelikož výsledný koeficient je vždy číslo z intervalu ⟨-1/2, 6⟩, výsledný koeficient se položí k = min(k', 6).

Každou úlohu ohodnotíme komplexním číslem ve tvaru (x+yi), kde x vyjadřuje počet bodů a y počet bodů imaginárních. Označíme-li b součet bodů za příklady, za něž se ti započítávají body, spočteme hrubý bodový zisk jako h' = Re(b) + (2-√3)Im(b). Jelikož by toto číslo mohlo být teoreticky záporné nebo větší, než je maximální počet bodů za sérii (označíme ho s, běžně je s = 25), "ořízneme" výchozí hodnotu do tohoto intervalu: h = 0, pokud je h' záporné; h = s, pokud je h' > s; h = h' jindy.

Předpokládejme dále, že k < 3. Pro další výpočet bude podstatné číslo t definované jako t = s[1 + √3 tg(kπ/6)]/2. Hledaný výsledný bodový zisk za sérii (což už je číslo, které se udává ve výsledkové listině) pak dostaneme podle vztahu v = √[t2 + (s+t)2 - (s+t-h)2] - t.

Jak toto číslo interpretovat geometricky? Uvažujme v rovině čtverec ABCD o straně s. Na přímku BD vyneseme bod S ve vzdálenosti √2 t od bodu B, přičemž celá úsečka BS je vně čtverce. Dále nechť je dána kružnice l o středu S a procházející body A a C. Na úsečce AB najdeme bod X takový, že |AX| = h, a povedeme jím kolmici p (pAB). Kružnice l a přímka p se protnou ve dvou bodech, ten uvnitř čtverce označíme Y. Výsledný bodový zisk za sérii je v = |XY|.

V případě, že k > 3, postupujeme takto: číslo t se nyní zvolí jako t = s[1 + √3 tg((6-k)π/6)] a výsledný bodový zisk je v = s - √[t2 + (s+t)2 - (t+h)2] + t. Tento vzorec lze interpretovat tak, že kružnice l je obrazem kružnice získané dle postupu uvedeného výše pro koeficient 6-k v osové souměrnosti podle osy AC, jinak zůstává postup stejný.

Nakonec zbývá případ k = 3 - tehdy je prostě v = h. Lze si to představit tak, že střed S je "v nekonečnu", tudíž se kružnice změnila na přímku AC.

Tento flash umožňuje spočíst bodový zisk za sérii, navíc demonstruje geometrický význam výpočtu.

Kontakt

email mks (zavináč) mff.cuni.cz
pošta Korespondenční seminář
KAM MFF UK
Malostranské náměstí 25
118 00   Praha 1

Organizátoři

mff

Matematický korespondenční seminář je organizovaný studenty Matematicko-fyzikální fakulty UK pod záštitou Informatického ústavu UK a Oddělení pro vnější vztahy a propagaci UK.

Partneři

pix